Ce rapport se divise en deux parties principales. Les chapitres 1, 2 et 3 concernent des travaux sur les transséries en prolongement de ma thèse. Les chapitres 4, 5 et 6 forment le départ de mon projet pour automatiser ce qui peut l'être dans l'analyse complexe, et sont au centre de mes intérêts actuels.

Le premier chapitre reprend avec plus de détails et quelques améliorations les résultats de la première partie de ma thèse. Le théorème différentiel des valeurs intermédiaires et la partie concernant les transséries complexes sont plus nouveaux. Ces travaux ont fait l'objet d'un livre, de deux articles et quelques prépublications.

Le chapitre 2 est surtout consacré à la thèse de mon étudiant M. Schmeling, soutenue avec mention très honorable. Tandis que J.P. Ressayre dirigeait cette thèse d'un point de vue administratif, je me suis occupé de l'encadrement scientifique. Le sujet de la thèse concerne la construction de corps de transséries généralisées, adaptés pour la résolution asymptotique d'équations différentielles de composition.

Le chapitre 3 concerne différentes façons d'incarner des transséries en analyse et les relations avec la théorie des modèles. On y montre notamment que le corps des transséries différentiellement algébriques sur donne lieu à un corps de Hardy. Cette partie a fait l'objet de deux articles et des travaux sont en cours en collaboration avec M. Aschenbrenner et L. van den Dries.

La deuxième partie commence par des résultats théoriques de décidabilité et calculabilité en analyse complexe. On y rappelle quelques théorèmes classiques sur les nombres réels calculables et poursuivons avec la formalisation des fonctions analytiques calculables. On y aborde également l'épineux problème des tests de nullité. Le chapitre 4 a donné lieu à plusieurs articles et quelques prépublications.

Dans le chapitre 5, on étudiera des algorithmes efficaces pour évaluer différents types de fonctions analytiques. On commencera par les fonctions holonomes, qui couvrent la plupart des fonctions spéciales, et que l'on traitera de façon assez complète, y compris dans des singularités. On considérera ensuite des solutions à des équations différentielles plus générales.

Dans le dernier chapitre, on verra une application a priori surprenante de l'analyse complexe effective à la factorisation d'opérateurs différentiels et le calcul de leurs groupes de Galois différentiels.

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