Au niveau le plus abstrait, des nombres réels
calculables 
sont en
réalité des algorithmes qui prennent une
tolérance 
en
entrée et qui rendent une 
-approximation
de 
avec 
.
Le domaine qui correspond à ce niveau de calcul est assez
proche de la logique et s'appelle analyse calculable. Les
machines de Turing furent originalement introduite pour montrer
qu'il n'existe pas d'algorithme pour tester si un nombre réel
calculable vaut zéro.
La deuxième couche concerne la gestion des erreurs de calcul.
On utilisera une variante de l'arithmétique
d'intervalles, où le type de données central est
celui d'une boule. On montrera comment ceci permet de rendre
effectif des arguments de type -
et de déformation.
La troisième couche concerne les algorithmes numériques proprement dits. En double précision, on peut utiliser des méthodes classiques développées par les numériciens. En précision arbitraire, il y a un saut de complexité pratique, dû au fait que l'émulation logicielle de nombres flottants est beaucoup plus lente que le calcul avec des « doubles machine ». Pour cette raison parmi d'autres, des algorithmes spécifiques sont souvent plus appropriés en précision plus élevée.
Le calcul rapide en haute précision passe généralement par du calcul rapide sur les entiers. Pour tout ce qui est calcul efficace avec des matrices, polynômes, séries, etc. à coefficients entiers, on utilisera le même genre d'algorithmes qu'en calcul formel.